POR DENTRO DO MÉTODO DE GAUSS
Carl Friedrich Gauss

POR DENTRO DO MÉTODO DE GAUSS

Este trabalho visa esclarecer e demonstrar matematicamente que o Método de Gauss é um sistema de amortização criado sob a teoria econômica do regime de juros simples que retorna 100,00% do capital ao seu legítimo proprietário ao final do prazo avençado.

A confusão em torno deste justo e perfeito sistema de amortização foi criado por (supostos) profissionais que se utilizam da matemática financeira como uma de suas ferramentas de trabalho; neste caso, de desconstrução da própria matemática financeira como veremos a seguir.

Para que pudessem atingir a balbúrdia esses profissionais contaram (e ainda contam) com os parcos conhecimentos de matemática financeira que os brasileiros possuem. Inclusive operadores do direito, peritos-assistentes, peritos judiciais e, sobretudo, os curiosos.

Assim, lançaram em livros que o Método de Gauss não devolvia 100,00% do capital ao final do prazo. Para provar esta mentira, induziram os ingênuos e neófitos a acreditarem que a equação a ser usada nestas situações é VP = VF/(1+ i x n), sendo VF o valor da prestação a pagar, “i” a taxa de juros aplicada e “n” o prazo do contrato.

Como anteriormente afirmado, trata-se de uma manipulação por parte daqueles que, não mais podendo esconder que o Sistema Francês de Amortização (Price) capitaliza juros em suas parcelas de juros, contra-atacam desvirtuando a matemática financeira

Para dirimir esta questão é apresentada a equação perfeita que retorna a totalidade do capital ao seu verdadeiro dono:

Onde PVt é a prestação a valor presente, PMT é o valor da prestação, t é o número da prestação que se quer descapitalizar, i é a taxa de juros utilizada e n é o número de períodos contratados.

Ratificando o exposto, ensina-nos Edson Rovina, no livro Uma Nova Visão da Matemática Financeira, Ed. Millennium, 2009, que “o Método de Gauss, o método da soma dos dígitos (…) reapareceu como substituto da Tabela Price por apresentar as mesmas características, ou seja, prestação constante e possibilidade de separar juros e capital a cada parcela, mas com uma mudança significativa. Enquanto a Tabela Price é um sistema que retorna o capital a juros compostos, o método soma dos dígitos ou Método de Gauss retorna o capital a juros simples e, assim, elimina o efeito do anatocismo.”

Continuando, pondera que “deve ser lembrado que a Tabela Price é o caso especial de diferimento de receita através do método exponencial, quando o pagamento ocorre em prestações fixas, periódicas, consecutivas, ao final do período. O método exponencial representa o recebimento de juros de forma capitalizada; assim, o Método de Gauss ou soma dos dígitos é o caso especial do diferimento de receitas através do método linear ponderado.”

“A única diferença entre um método e outro é a troca de concepção de regime de capitalização composta (caso do método exponencial) para o regime de juros simples (caso do método linear ponderado).”

Prosseguindo, afirma que “no Método de Gauss os juros são calculados no momento da contratação para então serem fracionados. Neste sistema não se calculam os juros sobre o saldo devedor anterior.”

Conclui que “todo e qualquer método de amortização que calcule juros sobre o saldo devedor imediatamente anterior é um regime de juros compostos, ou seja, é verificada a cobrança de juros sobre juros, ou melhor falando, é verificado o anatocismo.”

Em seguida nos explica que “na prestação existem dois componentes: a amortização (que representa a fração do capital pago) e os juros. Porém, é importante destacar que as prestações podem ser determinadas através de qualquer um dos conceitos de capitalização de juros, quer sejam capitalização composta ou para juros simples.”

Portanto, “o problema colocado para o caso do cálculo da prestação fixa difere em apenas no retorno de capital. Basicamente é o mesmo, sendo que a Tabela Price considera o retorno do capital no regime de juros compostos (anatocismo), enquanto que o Método de Gauss considera o retorno do capital a juros simples.”


MÉTODO DE GAUSS

O Método de Gauss efetua o cálculo das prestações a juros simples.
A fórmula utilizada é:

Para se encontrar o índice de ponderação usa-se a fórmula abaixo:


COMPROVAÇÃO DA EFICIÊNCIA DO MÉTODO. EXEMPLO NUMÉRICO

Há de destacar que o índice de ponderação nada mais é que a razão da PA obtida para a evolução, no caso de prestações fixas.

A fórmula para se encontrar o Montante (FV) de um Capital Inicial (PV) aplicado por um período de tempo (n) a uma taxa de juros simples (i) é:

O valor das prestações encontradas (R$ 365,08) deverá ser capitalizado a juros simples no período entre a data de seu pagamento e a última data focal, que neste exemplo é 3.  Ou seja, n-1.

A fórmula utilizada para se encontrar o valor capitalizado da prestação em questão na data focal final é:

Encontrando-se todas as prestações na mesma data focal, então elas podem ser somadas. O resultado é idêntico (R$ 1.150,00) ao encontrado através da fórmula utilizada para se obter o Montante ao final de um período, aplicado a juros simples. Ou seja, está comprovada a eficiência do Método de Gauss para se efetuar cálculo de prestações a juros simples em um sistema de amortização.

Portanto, ao fazer uso da equação correta o capitalista receberá a totalidade de seu dinheiro de volta ao final do prazo contratado.

Operação nº. 105.935.578-2, de 1/4/2015

Informamos, mais uma vez, a equação que deve ser utilizada:

Após o pagamento da prestação nº. 24, de 30/5/2017, credor receberá a totalidade do capital colocado à disposição da contratante.

Importante frisar que ao fazer uso da equação correta os valores obtidos serão idênticos aos gravados na coluna “amortização”.

Operação nº. 106.099.318-3, de 20/4/2015

Informamos, mais uma vez, a equação que deve ser utilizada:

Após o pagamento da prestação nº. 24, de 17/6/2017, credor receberá a totalidade do capital colocado à disposição da contratante.

Importante frisar que ao fazer uso da equação correta os valores obtidos serão idênticos aos gravados na coluna “amortização”.


TABELA PRICE X DE GAUSS. PRESTAÇÃO

O problema colocado para o caso da prestação fixa difere apenas no retorno de capital. Basicamente é o mesmo, sendo que a Tabela Price considera o retorno do capital no regime de capitalização composta (anatocismo), enquanto o Método de Gauss considera o retorno do capital a juros simples.

Essa mudança de conceito (Método de Gauss) altera somente uma condição de controle na dedução algébrica da prestação. No caso da Tabela Price, obrigatoriamente é utilizado o regime de capitalização composta, que é representado por progressões geométricas. O Método de Gauss utiliza o regime de capitalização no regime de juros simples, representado por progressões aritméticas.

Desta forma, com este trabalho demonstramos matematicamente que o sistema de amortização criado sob o manto do regime de juros simples que é justo, perfeito e apto a ser o contraponto do Sistema Francês de Amortização (Price) é o Método de Gauss e nunca o Sistema de Amortização Constante. Afinal, este capitaliza juros no critério composto em suas parcelas de juros (vide “Entendendo o SAC”, de nossa autoria).

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